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Physik für Schülerinnen und Schüler

Maxwell-Gleichungen und Maxwell-Gesetze in der Schule -

Grundgesetze der Elektrizität und des Magnetismus

© H. Hübel Würzburg 2013

Empfohlene Glossarthemen:

Feldbegriff

Feldlinien

elektromagnetisches Feld

Feldstärke

Glossar zur Physik für Schülerinnen und Schüler

Physik für Schülerinnen und Schüler

Maxwell-Gleichungen sind die in Mathematik gefassten Maxwell-Gesetze. Unter Vakuum soll ein im klassischen Sinn leerer Raum verstanden werden, in dem höchstens ruhende ("wahre Ladungen") oder bewegte Ladungen ("wahre Ströme") oder einzelne nicht wechselwirkende Spins vorhanden sind.


Im Vakuum lauten die  Maxwell-Gesetze folgendermaßen:

Maxwell 1: Elektrische Ladungen sind Quellen und Senken des elektrischen Feldes: Ein solches elektrisches Feld beginnt an positiven Ladungen und endet an negativen Ladungen. Auf einer Fläche um die Ladung Q entspricht die Ladungsdichte σ bis auf einen Faktor dem Betrag der von Q dort erzeugten elektrischen Feldstärke E. (Formal:  σ = ε0·E mit der elektrischen Feldkonstanten ε0)

Maxwell 2:  Es gibt keine magnetischen Ladungen; magnetische Felder sind deshalb immer Wirbelfelder mit geschlossenen Feldlinien.*)

Auch das magnetische Feld eines Permanentmagneten (vgl. Magnetfeld im Schenkel des Magneten) ist ein Wirbelfeld. Es ist im Inneren des Magneten längs der Feldlinien von S nach N gerichtet und außerhalb von N nach S.

Maxwell 3: Ein sich zeitlich änderndes magnetisches Feld ist mit einem elektrischen Wirbelfeld verbunden. Dessen Feldlinien sind geschlossen und umgeben ringförmig die Feldlinien des sich ändernden magnetischen Feldes. (Induktionsgesetz)

Maxwell 4: Ein elektrischer Strom ist von einem magnetischen Wirbelfeld B mit geschlossenen Feldlinien (Ampère'sches Gesetz) umgeben. Auch ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld E ist mit einem magnetischen Wirbelfeld B verbunden ("Maxwell'sche Ergänzung"). Dessen B-Feldlinien umgeben ringförmig die Feldlinien des sich ändernden elektrischen Feldes E. Die zeitliche Änderungsrate des sich ändernden elektrischen elektrischen Felds E, (dE/dt) hängt mit einer Größe zusammen, die auch als Strom aufgefasst wird ("Verschiebungsstrom"). Dann kann man auch diese Begleiterscheinung eines magnetischen Wirbelfelds im ersten Maxwell-Satz unterbringen. Es handelt sich dabei um einen Strom, der nicht eine Bewegung von Ladungen darstellt.

Auch ein magnetisches Moment µ infolge eines Kreisstroms ist mit einem Magnetfeld B verbunden. Es gibt auch "punktförmige" magnetische Momente. Die relativistische Quantentheorie zeigt: Sogar ruhende Elektronen, Protonen, aber auch Neutronen tragen eine Art Drehimpuls, einen Spin, der sich nicht auf bewegte Ladungen zurückführen lässt. Er ist mit einem magnetischen Moment verbunden. Drehimpuls (Spin) und magnetisches Moment sind zueinander proportional. Man kann dieses magnetische Moment als "punktförmig" betrachten und es formal auf einen "punktförmigen" Strom zurückführen. Wenn man den Strom in Maxwell 4 so erweitert, gilt das Gesetz nicht nur für bewegte Ladungen ("wahre Ströme") und den Verschiebungsstrom, sondern auch für ruhende Teilchen mit einem magnetischen Moment infolge des Spins. Auch ein ruhender Spin ist so mit einem magnetischen Wirbelfeld verbunden.

In Materie muss man i.A. beim elektrischen Strom auch einen Magnetisierungsstrom infolge eines Spins oder einer magnetisierten Materie und einen Polarisationsstrom infolge einer elektrisch polarisierten Materie berücksichtigen. In beiden Fällen werden keine elektrischen Ladungen transportiert.


Hinweise:

1. Feldlinien sind gedachte Linien. An jedem Punkt zeigt ihre Tangente die dort vorhandene Feldrichtung an.

2. Die Richtung des elektrischen Feldes E ist definiert als die Richtung der Kraft auf eine (sehr kleine) positive Probeladung. Die Richtung des magnetischen Felds B ist definiert als die Richtung, in die der N-Pol einer sehr kleinen Magnetnadel zeigt.

3. Man ist geneigt, die Maxwell-Gesetze und -Gleichungen als kausale Aussagen zu betrachten,  etwa in dem Sinn, dass ein Strom ein magnetisches Wirbelfeld erzeuge, oder ein sich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Wirbelfeld hervorrufe. Eine solche Auffassung ist nicht gerechtfertigt. Die Maxwell-Gleichungen sind keine kausalen, sondern konsistente Gesetze, die beschreiben, unter welchen Voraussetzungen bestimmte Felder vorliegen bzw. welche Felder, Ladungen und Ströme miteinander verträglich (konsistent) sind.

4. In Materie zählen zu den Ladungen, die die elektrische Feldstärke E bestimmen, neben den "wahren" Ladungen auch Polarisationsladungen. Zu den Strömen, die B bestimmen, zählen neben den "wahren" und Verschiebungsströmen auch Magnetisierungs- und Polarisationsströme. "Wahre" Ladungen, mit denen z.B. die Platten eines Kondensators geladen sind, heißen manchmal auch freie oder externe Ladungen. "Wahre" Ströme, die z.B. durch eine Spule fließen, heißen manchmal auch freie oder externe Ströme. Wenn mit D = ε0·E + P ein Verschiebungsvektor D definiert wird (Polarisation P), und mit B = µ0·H + M eine magnetische Erregung H (Magnetisierung M), dann bestimmen die "wahren" Ladungen allein die Quellen von D und die "wahren" Ströme zusammen mit dem Verschiebungsstrom allein die Wirbel der magnetischen Erregung H. In diesem Sinn entsprechen sich D und H bzw. E und B.

D heißt Verschiebungsvektor oder elektrische Flussdichte. Der Betrag von D heißt auf geladenen Flächen auch Flächenladungsdichte σ. Auf einer homogen geladenen Kugel mit der Oberfläche A gilt dann σ = Q/A = Q/4·π·r2 bzw. D = Q/4·π·r2. Das ist eine Sonderform des Gauss'schen Gesetzes, einer quantitativen Version von Maxwell 1. Es macht auch Aussagen bei der (elektrischen) Influenz. Im Vakuum findet man dann auch (mit P = 0): E = D/ε0 = σ/ε0 . Für die homogen geladene Kugel mit der Ladung Q ergibt sich so im Abstand r vom Kugelzentrum E = 1/(4·π·ε0)  · Q/r2 . Multipliziert man mit einer Probeladung q im Feld E entspricht das dem Coulomb-Gesetz für eine Punktladung Q bzw. eine homogen geladene Kugel.


(ohne Bild)
Maxwell 1: Von positiven Ladungen geht ein elektrisches Feld aus, das an negativen Ladungen endet. Maxwell 2:

Es gibt keine magnetischen Ladungen.


Maxwell 3 (Induktionsgesetz):

Ein sich zeitlich änderndes magnetisches Feld  B ist von einem elektrischen Wirbelfeld E mit ringförmig geschlossenen Feldlinien umgeben. Seine Richtung hängt davon ab, ob |B| zunimmt oder abnimmt.

Ein in  Pfeilrichtung sich weitender Pfeil symbolisiert in der Zeichnung eine Zunahme des Betrags der Feldstärke, ein sich verengender Pfeil eine Abnahme des Betrags der Feldstärke.


Maxwell 4a:

Jeder elektrische Strom I ist von einem magnetischen Wirbelfeld B mit ringförmig geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben (Rechte-Hand-Regel).

Zum Strom gehört auch der formale Strom, der mit einem Spin oder der Magnetisierung in einem ferromagnetischen Material verbunden ist. Diese Ströme werden nicht durch bewegte Ladungen erzeugt.

Maxwell 4b:

Auch ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld  E ist von einem magnetischen Wirbelfeld B umgeben. Seine Richtung hängt davon ab, ob |E| zunimmt oder abnimmt. Wegen der Ähnlichkeit zur ersten Zeichnung links hängt mit dE/dt eine Größe zusammen, die Verschiebungsstrom genannt wird.

Beim Aufbau eines elektrischen Feldes in einem Kondensator (folgende Abbildung) z.B. entsteht ein magnetisches Wirbelfeld zwischen den Platten, wo keine bewegten Ladungen vorhanden sind (Mehr dazu findest du hier):


*) Es  ist vom B-Feld die Rede. B heißt ursprünglich magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion. Heutzutage wird häufig dafür auch "Magnetfeld" gesagt.

Das H-Feld ("magnetische Erregung"; früher "magnetische Feldstärke") kann - anders als das B-Feld - Quellen und Senken haben. Es wird in der Schule in der Regel nicht behandelt.

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( Juni 2013, November 2019: ergänzt )