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SG110 Ein-/Ausschaltvorgänge bei der Spule

© H. Hübel Würzburg 2021

Induktionsgesetz

Induktivität

Glossar

Physik für Schülerinnen und Schüler

Vgl. bzgl. weiterer Informationen:

Physikalische Schülerversuche mit PC und Mikroprozessor, 2. deutlich erweiterte Auflage,

im Buchhandel erschienen


Grundschaltung
Dominierende Gesetze
Einfache Rechnungen
Messung der Induktionsspannung im Schülerversuch
Kurze Geschichte des Ein- und Ausschaltvorgangs
Gesetzmäßigkeiten
Was ist die charakteristische Zeit?

Abb. 1: Grundschaltung zur Untersuchung von Ein-/Ausschaltvorgängen an der Spule

Die Stromstärke I wird hier durch die Spannung U0 am Widerstand R gemessen, z.B. mit einem Messinterface. An der Schaltung liege die Spannung UB (hier = 5 V).

Der vom Spulenstrom durchflossene Gesamtwiderstand Rges enthält auch den Innenwiderstand der Spule. Rges nennen wir auch R (Einschaltvorgang: R = Ri + R1).

Nach Unterbrechung des Schalters (Ausschaltvorgang) fließt der Spulenstrom auch durch den Widerstand R2. Der durchflossene Gesamtwiderstand ist dann R' = R + R2.

Schließt man in der Schaltung nach Abb. 1 den Schalter, so steigt die Stromstärke erst allmählich an. Umgekehrt, öffnet man den Schalter nach langer Zeit wieder, so klingt der Strom erst allmählich ab. Die Stromrichtungen erkennst du in den folgenden Abbildungen.


Abb. 2:

Vor dem Einschalten sei die Spule stromlos.

Nach dem
Einschalten versucht sie diesen Zustand beizubehalten, indem sie eine Spannung induziert, die nach der Lenz'schen Regel der angelegten Spannung (hier 5 V) entgegenwirkt. Nach längerer Zeit fließt ein konstanter Strom durch die Spule ("Sättigungsstrom").

(Durch R
2 fließt jetzt auch ein Strom, der aber mit dem Spulenstrom nichts zu tun hat und deshalb hier nicht betrachtet wird).

Der Gesamtwiderstand, durch den der Spulenstrom fließt, ist zusammen mit dem Innenwiderstand der Spule (R
i): R = Ri + R1.


Abb. 3:

Nach Öffnen des Schalters versucht die Spule, auch diesen neuen Zustand (Strom durch Spule) beizubehalten, indem sie gemäß der Lenz'schen Regel eine Spannung induziert, die den Sättigungsstrom kurzzeitig weiter fließen lässt. Die Spannungsquelle ist abgetrennt, also fließt dieser Strom durch den geschlossenen Stromkreis über R2. Er ist jetzt ein Induktionsstrom.

Der Gesamtwiderstand, durch den der Spulenstrom fließt, ist jetzt mit dem Innenwiderstand der Spule (Ri): R' =  Ri + R1 + R2.

Da jetzt der Gesamtwiderstand um R2 vergrößert ist, muss die Induktionsspannung von größerem Betrag als UB sein.

(Dass die Spule vorher magnetische Energie gespeichert hatte, ermöglicht es ihr, einen Strom zu erzeugen.)

Dominierende Gesetze

Die Vorgänge bei der Spule werden in der Schule durch drei didaktisch wichtige Bedingungen dominiert. Die vierte Bedingung ist eine Folgerung:

Spule

"Grundgesetz der Spule" (1)

(1) Uind = - L·dI/dt (Induktionsgesetz) bzw. Spannungsabfall an der Spule UL = - Uind.

Spannungsbilanz (2)

Seit dem Zuschalten einer Batterie mit Spannung UB (alle übrigen Spannungen werden als Spannungsabfälle aufgefasst):

    (2a) UB = I · R + UL

mit UL > 0 , da Uind = - UL der Batteriespannung entgegengesetzt gerichtet ist.

Gleichwertig ist die Maschenregel, wenn auch Uind als Spannungsquelle aufgefasst wird:

    (2b) UB + Uind = I · R.

Anfangs fließt kein Strom (I = 0), also Uind(t=0) = - UB .



Seit dem Abtrennen der Batterie:

    (2c) 0 = I · R' + UL

mit UL < 0, damit I weiterhin positiv.  Für alle Zeiten gilt Uind = I · R'.

R und R' sind die jeweils vom Strom I durchflossenen Gesamtwiderstände.
R' = R + R2 , weil der Spulenstrom nach dem Abtrennen auch durch R2 fließt!

(Es ist egal, ob du mit Gleichung (2a) oder (2b) argumentierst. Beachte aber, dass Uind = - UL auf unterschiedlichen Seiten der Gleichung stehen.)

Stetigkeitsbedingung für die Stromstärke (3)

Die Stromstärke macht keine Sprünge.

Stationärer Strom ("Sättigungsstrom") (4)

Das ist die Stromstärke I, die sich einstellt, wenn keine Induktion mehr stattfindet, also, wenn UL = 0 => I aus UB = I · R , bzw. I = 0 nach dem Abtrennen der Batterie.

Die  Stetigkeitsbedingung hängt mit der Anfangsbedingung I(t=0) beim Einschalten zusammen. Sie bestimmt auch die Spitzenspannung, wenn noch I = 0 (Einschaltvorgang), bzw. wenn der stationäre Strom nach dem Abschalten der Batterie weiterfließen muss:

Es muss eine solche Spannung induziert werden, dass I kurzzeitig unverändert bleibt.


(Die Gleichung (2a): UB = I · Rges  - L·dI/dt , oder (2b und 2c) ist eine Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung für den Spulenstrom I. Sie heißt so, weil neben I die Zeitableitung von I (dI/dt) vorkommt. Sie benötigt nur eine Anfangsbedingung, hier den Strom im Moment des Einschaltens bzw. des Ausschaltens.)

dI/dt im Induktionsgesetz kann je nach Situation oder Kenntnisstand aufgefasst werden als Zeitableitung der Stromstärke oder als Differenzenquotient ΔI/Δt .



Beispiele für einfache Rechnungen

Es gelten die Daten von Abb. 1. Für den Einschaltvorgang folgt der stationäre Strom folgendermaßen: Nach langer Zeit: UL = 0, also auch Uind = 0, also mit der Spannungsbilanz (2): UB = I · R . Daraus folgt bei einem Innenwiderstand der Spule von 2 kΩ und R1 = 1 kΩ der stationäre Strom ("Sättigungsstrom") I = UB/R = 5,0 V / 3,0 kΩ = 1,7 mA.

Nach dem Öffnen des Schalters muss dieser Strom weiterfließen, also entsteht eine Spitzenspannung Uind = - UL = I · R' = 1,7 mA · 4,0 kΩ = 6,7 V. Sie hat gleiches Vorzeichen wie UB, weil sie einen gleichgerichteten Strom durch die Spule fließen lassen muss. Sie muss größer als UB sein, weil der unveränderte Strom durch R1, den Innenwiderstand der Spule Ri und R2 gepumpt werden muss.

Unmittelbar nach dem Schließen des Schalters ist die Stromstärke noch 0, also nach der Spannungsbilanz (2): UL = UB bzw. die Spitzenspannung Uind = - UB = - 5,0 V. Sie hat umgekehrtes Vorzeichen im Vergleich zu UB , weil sie den Stromfluss zu unterdrücken versucht, zunächst sogar vollständig.



Wie kann man die Spannung an der Spule (Uind = - UL
messen? Dazu findest du mehr hier.

Im Schülerversuch mit Messinterface und PC entstanden folgende Bilder (oben Uind, unten I):

Abb. 4: Leider sind hier die Widerstände R1  und R2 schwer erkennbar. Die Leitungen rechts führen zum Messinterface.

Aus UB und dem Gesamtwiderstand R, der beim Einschaltvorgang den Widerstand R1 und den Innenwiderstand der Spule Ri enthält, wird Uind berechnet. Das geschieht z.B. im Messinterface.

Abb. 5: Spannung UL (auf dem Bildschirm oben) und Stromstärke I bei einer Spule.

Du kannst dir leicht überlegen, wie sich die Vorzeichenumkehr auf die Induktionsspannung Uind = - UL auswirkt. Dann erkennst du, dass beim Einschalten eine Gegenspannung zur Batteriespannung herrschen sollte, und beim Ausschalten eine Mitspannung, die anfänglich denselben Strom wie die Batterie durch die Spule pumpen sollte.

Durch Abgriff direkt an der Spule könnte man mit dem Messinterface in der Schaltung links die Spannung UL  nur dann erhalten, wenn ihr Innenwiderstand vernachlässigbar wäre. 


(Achte darauf, dass die Selbstinduktionsspannung beim Ausschalten die zulässige Eingangsspannung des Messinterfaces nicht überschreitet!  Beachte die unterschiedlichen Vorzeichen der Selbstinduktionsspannung! Sie erfordern evtl. bipolare Messung im Messinterface! )





Eine kurze Geschichte des Ein- und Ausschaltvorgangs bei der Schaltung der Abb. 1

Spulen sind nach der Lenz'schen Regel extrem konservativ, d.h. sie versuchen, alles beim Alten zu belassen. Wenn kein Strom fließt, "wollen" sie den Strom weiterhin auf 0 halten, wenn ein Strom fließt, "wollen" sie diesen weiterhin in möglichst unveränderter Stärke weiter fließen lassen. Eine andere Aussage dieser Tatsache ist, dass die Stromstärke keine Sprünge macht.

Einschaltvorgang: Solange in Abb. 1 der Schalter offen ist, ist die Stromstärke 0. Nach Schließen des Schalters induziert die stromdurchflossene Spule eine Gegenspannung, die den Strom I weiterhin kurzzeitig auf 0 hält. Allmählich steigt die Stromstärke doch an. Im geschlossenen Stromkreis liegen zwei Spannungsquellen für die Batteriespannung und die Induktionsspannung, welche als Gegenspannung wirkt. Anfänglich heben sie sich gegenseitig auf, ihre Summe verschwindet, also Uind = - UB. Im Allgemeinen erzeugen sie zusammen den Spannungsabfall I·R am stromdurchflossenen Gesamtwiderstand R. Mit zunehmendem Strom wird der Betrag der Induktionsspannung kleiner, sie kann also immer weniger den Stromanstieg verhindern. Im Prinzip nach sehr langer Zeit t1 erreicht die Stromstärke schließlich ihren Maximalwert I1 = UB/R, den Sättigungsstrom<, wenn die Induktionsspannung 0 geworden ist. Dann gilt UB = I1·R, und die in der Spule gespeicherte Energie ist maximal.

Ausschaltvorgang: Nach Öffnen des Schalters sorgt die Spule mit einer Selbstinduktionsspannung dafür, dass der Strom I1 = UB/R (Sättigungsstrom) kurzzeitig weiterfließt. Wenn der Widerstand R2 in Abb. 1 vorhanden ist, muss dieser Strom durch den Innenwiderstand der Spule, den Widerstand R1 und auch R2 fließen. Weil der Gesamtwiderstand jetzt R' = Ri + R1 + R2 ist, wird dazu eine Induktionsspannung benötigt, deren Betrag die Batteriespannung UB überschreitet. Es gilt Uind = I1·R' = UB · R'/R > UB. Da sie anfänglich den unveränderten Strom I1 mit unveränderter Richtung fließen lässt, muss sie gleiches Vorzeichen wie UB haben, sie ist eine "Weiter- oder Mitspannung". Ist kein Widerstand R2 vorhanden (ist R' also quasi beliebig groß), müsste eine beliebig große Spannung induziert werden. Schon zuvor wird z.B. die Luft zwischen den Kontakten des Schalters leitfähig, und der Schalter wird so quasi wieder geschlossen, häufig erkennbar an einem Öffnungsfunken. Dazu ist evtl. eine riesige Induktionsspannung nötig, die Bauteile der Schaltung zerstören könnte. Schon weil nur endlich viel magnetische Energie in der Spule gespeichert ist, muss die Stromstärke I allmählich absinken. Mit absinkender Stromstärke wird auch die Induktionsspannung kleiner, und sie verhindert das Absinken noch weniger. Nach sehr langer Zeit sind Stromstärke und Induktionsspannung auf 0 abgesunken.



Gesetzmäßigkeiten


Errate eine Lösung der DGL mit einem geeigneten Ansatz

Von der Lösung der DGL sind folgende Grundfakten für Stromstärke und Induktionsspannung bekannt (der Pfeil => bedeutet: strebt gegen):

Einschaltvorgang:

1. t = 0:  I(t=0) = 0,  und  Uind(t=0) = - UB

2. t = t1:  I( t1) = I1 und für sehr großes t1 I( t1) = UB/R  und  Uind(t=>t1) => 0

Ausschaltvorgang:

1. t = t1:   I(t1) =  I1 = UB/R     und     Uind(t=t1) = UB · R'/R = I1·R'  (für sehr großes t1),

2. t => ∞: I(t => ∞) => 0         und      Uind(t=>) => 0


Für den Einschaltvorgang liegt also der Ansatz nahe:

          I(t) = UB/R· [1 - exp(-t/T)]  und mit dem Induktionsgesetz, wenn T = L/R:

         Uind = - UB· exp(-t/T)  mit irgendeiner Konstanten T.


Überprüfe die Grundfakten:

1. für t = 0:       I(t=0) = 0   und   Uind =  - UB .

Wegen des Minuszeichens ist Uind eine Gegenspannung zur Batteriespannung.

2. für t => :    I(t) => UB/R    und   Uind =>  0.

Die Grundfakten für den Einschaltvorgang werden richtig beschrieben. Die Richtigkeit des Ansatzes kann auch bewiesen werden.


Ähnlich machen wir für den Ausschaltvorgang (t ≧ t1) den Ansatz:

(Der Ausschaltvorgang beginnt zur Zeit t = t1. Alle weiteren Zeiten sind auf diesen Zeitpunkt bezogen; deswegen die Differenz t-t1. Der Startwert bei t = t1 ist wegen der Stetigkeitsbedingung I(t=t1) = UB /R (für sehr großes t1). Für t >> t1 strebt I(t) => 0. )

                I(t) = UB/R · exp[-(t-t1)/T'] 

daraus folgt für t ≧ t1, wenn T' = L/R':

                Uind =  UB · R'/R · exp[-(t-t1)/T']     und es gilt:   Uind =  I · R'


Überprüfe die Grundfakten:

1. für t = t1:     I(t) = UB/R    und    Uind =  + UB · R'/R , wenn T' = L/R'

Wegen des positiven Vorzeichens ist Uind eine "Mitspannung", deren Spitzenwert wegen  R' > R die Betriebsspannung übersteigt.

2. für t => :    I(t) => 0    und   Uind =>  0.

Die Grundfakten für den Ausschaltvorgang werden durch den Ansatz richtig beschrieben. Der Ansatz kann wieder bewiesen werden.

Wegen Uind =  I· R' sind Uind und I zueinander proportional, haben also die gleiche Zeitabhängigkeit. Das sieht nach dem Ohm'schen Gesetz aus. Außer der Spule als Spannungsquelle mit Uind enthält der Stromkreis auch nur einen Ohm'schen Widerstand.


Eine Lösung der DGL mit einem Standardverfahren findest du hier.



Was ist die charakteristische Zeit T = L/R bzw. T' = L/R'?


Beim Einschaltvorgang gilt  dI/dt = UB/L - I·R/L, also dI/dt = UB/L, wenn I = 0 bzw. für t = 0: dI(t=0)/dt = UB/R · R/L = UB/R · 1/T. Das ist die Anfangssteigung der t-I-Funktion. Für die Tangente im Nullpunkt gilt also

                I = UB/R · t/T.

Die Tangente erreicht den Sättigungsstrom UB/R bei t = T. Damit haben wir die Deutung von T:

T ist diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Sättigungsstrom UB/R erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten (im Ursprung) verändern würde.

T = L/R wird "charakteristische Zeit für den Einschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke ansteigt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand R des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. Sie kann dazu dienen, für ein Experiment eine günstige Kombination von L und R auszuwählen, aber auch zur Messung von L.

Ganz entsprechend gilt beim Ausschaltvorgang dI(t)/dt = - I(t)/T' , und bei t = t1:   dI(t)/dt = - UB/R · 1/T'.

T' ist - ausgehend vom Sättigungsstrom UB/R - diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Strom 0 erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten zum Zeitpunkt des Schalteröffnens verändern würde.

T' = L/R' wird "charakteristische Zeit für den Ausschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke abfällt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand  R' des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. T' =  L/R' < T = L/R, weil R' = R + R' > R.  Der Strom fällt beim Ausschalten schneller ab, als er beim Einschalten ansteigt.

Dass T' mit zunehmender Induktivität L wächst, passt zur Überlegung, dass bei größerem L mehr magnetische Energie in der Spule gespeichert ist. T' fällt mit zunehmendem Gesamtwiderstand. Das passt gut dazu, dass mit zunehmendem Gesamtwiderstand R' die magnetische Energie schneller "aufgebraucht" wird.

Aus dem t-I-Diagramm lassen sich so T und T' graphisch leicht entnehmen (Abb. 6) mit dem Ergebnis T = 0,002 s und T' = 0,001 s).

Abb. 6: Ergebnis einer Tabellenkalkulation für L = 0,2 H, R = 100 Ω, R' = 200 Ω, UB = 5 V. Blau gezeichnet ist der Spannungsabfall I·R. Er ist ein Maß für den Spulenstrom I.

Die Tangenten mit der Anfangssteigung bei t = 0 s und bei t = t1 sind grün eingezeichnet. Damit kannst du T bzw. T' ablesen. Wegen T = L/R
erhältst du L = T·R = 0,002 s·100 Ω = 0,2 H oder auch L = T'·R' = 0,001 s·200 Ω = 0,2 H.


Für die Schülerversuchsspule mit L = 0,1 H (Ri = 1,5 Ω; vernachlässigbar) und mit R1 = R2 = 100 Ω erhältst du in guter Näherung T = L/R = 1 ms bzw. T' = 0,5 ms. Das Messinterface muss also schnelle Messungen zulassen.

Messtechnisch günstiger sind R
1 = R2 = 10 Ω mit T = L/R = 10 ms bzw. T' = 5 ms. Auch bei der empfohlenen Batteriespannung UB = 1,5 V wird die Batterie beim Einschaltvorgang sehr stark belastet.


Warnung: Es gibt im Internet so genannte "Erklärvideos" von Firmen, deren Autoren die Vorgänge bei der Selbstinduktion nicht verstanden haben. Lass' dich von ihnen nicht in die Irre führen. So kannst du kein Einserschüler werden! Man hat den Eindruck, dass es solchen Firmen mehr darum geht, Werbung unterzubringen.



Möglicherweise habe ich die Tangentenmethode zur Definition von T vor Jahrzehnten durch Prof. Heuer kennengelernt.

( Juni 2014; Ergänzungen Dez. 2020; weitere Ergänzungen April 2021)