I Worum geht es bei Wechselstromkreisen?   (zurück zur Übersicht)

An verschiedene in Reihe geschaltete Bauteile soll eine Wechselspannung U(t) angelegt werden (Ohm'scher Widerstand, Kondensator, Spule). Dass auch ein Kondensator einen Strom durchlässt, dürfte dir mittlerweile bekannt sein. Wenn die Bauteile hintereinander (in Reihe oder in Serie) geschaltet sind, fließt durch alle Bauteile der gleiche Strom. Zunächst ist eine Frage, welchen Zeitverlauf die Stromstärke bei einem bestimmten Zeitverlauf der Spannung hat. Die Frage lässt sich nur in Sonderfällen einfach beantworten, für die Praxis sind sinusförmige Verläufe besonders wichtig. Dann ist noch zu klären, ob sich so etwas wie ein Wechselstrom-Widerstand definieren lässt, und welche Frequenzabhängigkeit er ggf. hat. Er ist in der Regel nicht konstant wie ein Ohm'scher Widerstand. Damit kannst du dann einfach erklären, wie sich der Strom und die Spannungsabfälle an den Bauteilen mit zunehmender Frequenz verändern. Du verstehst jetzt, wie bestimmte Schaltungen funktionieren, die in einigen technischen Geräten eine wichtige Rolle spielen.

II Allein Ohm'scher Widerstand im Stromkreis   (zurück zur Übersicht)

Wegen des Ohm'schen Gesetzes U = R·I sind U und I immer proportional zueinander. U und I hängen dann in gleicher Weise von der Zeit ab, sie sind z.B. proportional zu sin(ω·t). Zu den Zeiten, zu denen I verschwindet, ist auch U = 0. Zu den Zeiten, zu denen I maximal ist, ist auch U maximal. I und U erreichen auch gleichzeitig ihr Minimum. Man sagt: "I und U sind gleichphasig" (oder "in Phase"). Der Widerstand ist unabhängig von der Frequenz f oder Kreisfrequenz ω·t = 2π ·f des Wechselstroms.

U(t) und I(t) sind zu allen Zeitpunkten t proportional zueinander, und bei einem sinusförmigen Wechselstrom auch proportional zu sin(ω·t).

II Das Zeigerdiagramm      (zurück zur Übersicht)

Diese Tatsachen werden üblicherweise in einem Zeigerdiagramm dargestellt (Abb. 1). Ein Zeiger konstanter Länge I₀ bzw. U₀ [Maximal- oder Scheitelwerte von I(t) und U(t)] rotiert dabei in einem rechtwinkligen Koordinatensystem um den Koordinatenursprung im Gegenuhrzeigersinn. I₀ bzw. U₀ werden auch Amplituden genannt, Stromamplitude und Spannungsamplitude.

Der Drehwinkel (grün) - gemessen gegenüber der horizontalen Achse - entspricht ω·t. Wenn sich ω·t verändert, wandert die Spitze der Zeiger auf einem Kreis mit dem Radius I₀ bzw. U₀ um den Koordinatenursprung. Die Projektion des Zeigers auf die vertikale Achse ist dann jeweils I₀·sin(ω·t) bzw. U₀·sin(ω·t).
Man kann so zu allen Zeitpunkten I(t) und U(t) veranschaulichen. Z.B.: Wenn ω·t = π/2, sind I(t) und U(t) maximal, wenn ω·t = π oder ω·t = 0, verschwinden I(t) und U(t). Der Scheitelwert von U(t) heißt U₀.

Wesentlich ist die Spannungsbilanz: Die von außen angelegte Spannung U(t) ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Bauteilen. Hier ist nur ein Spannungsabfall U_R vorhanden, also U(t) = U_R.

Der Innenwiderstand der Stromquelle (ihr Ausgangswiderstand) sollte sich für die folgenden Diskussionen möglichst wenig bemerkbar machen. Bei Experimenten unter Verwendung eines Funktionsgenerators sollte deshalb dessen Leistungsausgang angeschlossen werden. Aber wegen der Selbstinduktion Vorsicht bei Anschluss oder Abtrennen einer Spule!

IV Allein Kondensator im Stromkreis    (zurück zur Übersicht)

Abb. 2: Allein Kondensator im Wechselstromkreis Ein abschnittsweise konstanter Strom I sorgt für linear veränderliche Spannung U. Merkwürdigerweise ist der Betrag der Stromstärke gerade dann maximal, wenn die Spannung verschwindet! Umgekehrt ist die Stromstärke gerade dann 0, wenn der Betrag der Spannung maximal ist. links: dreiecksförmige Spannung, rechts: sinusförmige Spannung zeichnerisch ergänzt

Folgerungen:

1. Es muss erst ein Strom eine Zeit lang fließen, damit sich nach und nach eine Spannung am Kondensator ausbilden kann.

2. Die Steigung der Spannung entspricht der Stromstärke: Wächst die Spannung am Kondensator, dann hat die Stromstärke positives Vorzeichen, fällt die Spannung, hat die Stromstärke negatives Vorzeichen.

3. J e schneller sich die Spannung verändert, desto größer muss der Betrag der Stromstärke sein.

4. Der gleiche Zusammenhang zwischen der Steigung der Spannung und der Stromstärke gilt, wenn ein sinusförmiger Strom durch den Kondensator (in Abb. 2, rechts ergänzt) geschickt wird. Wenn U(t) prop. zu sin(ω·t), ist I(t) prop. zu cos(ω·t). Beim Kondensator "eilt die Stromstärke der Spannung voraus", weil erst ein Strom fließen muss, damit sich nach und nach eine Spannung ausbilden kann.

5. Merkwürdigerweise ist die Stromstärke genau dann maximal, wenn die Spannung 0 ist! Die Stromstärke ist 0, wenn die Spannung maximal ist! Ist also die Spannung die Ursache für den Strom?

Variante:

2.a) Linear wachsende und fallende Spannung am Kondensator hat einen  konstant positiven oder konstant negativen Strom zur Folge. Die Stromstärke entspricht gemäß I = C dU/dt der Steigung der Spannung.

2.b) Sinusförmige Spannung am Kondensator [U = U ₀ sin(ω·t)] hat entsprechend einen Strom zur Folge, der gemäß I = C dU/dt = - C·U₀·ω·cos(ω·t) der Steigung der Spannung entspricht.

Strom und Spannung sind nicht mehr in Phase. Sie erreichen zu verschiedenen Zeiten ihr Maximum oder auch ihr Minimum. Das entspricht einem phasenverschobenen Zeitverlauf.  Für die Beträge gilt: | I | = I₀ = ω·C·U₀ . Die Beträge von I und U, also I₀ bzw. U₀, sind wie im Gleichstromfall zueinander proportional. Wir müssen aber die Phasenverschiebung berücksichtigen.

Damit wird der Betrag eines Wechselstrom-Widerstands des Kondensators definiert.

Z_C = U₀ /I ₀ = 1/(ω·C)

(Etwas allgemeiner verwendet man Effektivwerte zur Definition eines Wechselstrom-Widerstands:  Z_C = U_eff /I_eff. Bei sinusförmiger Zeitabhängigkeit von Strom und Spannung unterscheiden sich Effektiv- und Maximalwerte nur um einen konstanten Faktor: U_eff = U₀/√2, I_eff =I₀/√2. In einem solchen Fall kannst du Effektivwerte und Maximalwerte gegeneinander austauschen.)

Mit zunehmender Kreisfrequenz ω und Kapazität C sinkt der Wechselstrom-Widerstand des Kondensators. Schlampig formuliert sagt man auch manchmal, dass bei einer gegebenen Maximalspannung U₀ ein Kondensator einen umso größeren Strom durchlässt, je größer die Kreisfrequenz ω und die Kapazität C sind.

V Allein ideale Spule im Stromkreis   (zurück zur Übersicht)

2.a) Wenn ein abschnittsweise linear wachsender und linear fallender Strom (ein Dreiecksstrom) durch eine Spule mit möglichst geringem Widerstand (eine "ideale" Spule) gepumpt wird^*), wird in ihr eine abschnittweise konstante Spannung nach Abb. 4 induziert, eine Selbstinduktionsspannung U_ind. Sie ist proportional zur Steigung der Stromstärke: U_ind = - L·dI/dt. Die Folge von U_ind ist ein entgegengesetzter Spannungsabfall U_L (U_ind = - U_L). Die Spannungsbilanz lautet hier U(t) = U_L = L·dI/dt. Also ist U prop. dI/dt.

Zum Unterschied von  U_ind und U_L.

Abb. 4: Schickt man einen dreiecksförmigen Strom (oben) durch eine weitgehend widerstandslose Spule, erzeugt diese eine abschnittsweise konstante Selbstinduktionsspannung Uind bzw. einen Spannungsabfall UL = - Uind (unten).*) links: dreiecksförmiger Strom, rechts: sinusförmiger Strom zeichnerisch ergänzt Wie sich Stromstärke und Spannungen mit der Zeit verändern, wird durch ein Zeigerdiagramm beschrieben (Abb. 5)

2.b) Wird ein sinusförmiger Strom durch eine ideale Spule geschickt, entsteht eine Selbstinduktionsspannung, die gemäß [U = L · dI/dt] proportional zur Zeitableitung der Stromstärke ist. Wenn I = I₀·sin(ω·t) ergibt sich U = L·ω·I₀·cos(ω·t) = U₀·cos(ω·t), wobei U₀ = L·ω·I₀. Damit definieren wir wieder einen Wechselstrom-Widerstand der Spule mit Z_L = U₀/I₀ = ω·L . Auch bei der Spule erreichen Stromstärke und Spannung zu unterschiedlichen Zeiten ihr Maximum oder auch ihr Minimum. Merkwürdigerweise ist die Stromstärke wieder gerade dann maximal, wenn die Spannung verschwindet! Strom und Spannung sind gegeneinander phasenverschoben.

Folgerungen:

• wenn die Stromstärke steigt, hat die Selbstinduktionsspannung U_ind umgekehrtes Vorzeichen zur Spannung beim Fallen der Stromstärke,
• je schneller sich die Stromstärke verändert, desto größer ist der Betrag der Selbstinduktionsspannung,
• die konstante Steigung des t-I-Graphen im jeweiligen Zeitabschnitt ist proportional zur konstanten Selbstinduktionsspannung. Es gilt also

Abb. 5: Strom I und Spannung UL (bzw. die äußere angelegte Spannung U) in einem Wechselstromkreis allein mit einer widerstandslosen Spule der Induktivität L im Zeigerdiagramm. Die momentanen Werte von I und U sind wieder an der vertikalen Achse abzulesen. Wenn die Stromstärke I prop. zu sin(ω·t) ist, ist die Spannung prop. zu cos(ω·t) = sin(ω·t+φ); φ = 900. Die Spannung UL (bzw. U) eilt der Stromstärke I voraus. Das ist besonders einsichtig, wenn man die Rotation der Zeiger von I und UL im Gegenuhrzeigersinn betrachtet. Die Spannungsbilanz lautet U(t) = UL . Sie ist hier wieder nicht besonders spektakulär.

Folgerungen:

1. Bei der Spule "eilt die Spannung der Stromstärke voraus", weil sich erst ein Strom ändern muss, damit sich eine Induktionsspannung ausbilden kann.

2. Die Spannung ist proportional zur Steigung der Stromstärke.

3. Je schneller sich die Stromstärke verändert, desto größer ist der Betrag der Selbstinduktionsspannung  U_ind bzw. des Spannungsabfalls U_L.

4. Merkwürdigerweise ist die Stromstärke genau dann maximal, wenn die Spannung 0 ist! Die Stromstärke ist 0, wenn die Spannung maximal ist! Ist also die Spannung die Ursache für den Strom?

VII Stromkreis mit idealer Spule und Kondensator   (zurück zur Übersicht)

Der Widerstand sei R = 0, die Induktivität der Spule L, die Kapazität des Kondensators C.

Resonanz

Es gibt auch eine Frequenz, bei der sich beide Spannungen in dieser Näherung (R = 0) zur theoretischen Gesamtspannung 0 addieren. Das ist eine Art von Resonanz. Die Frequenz, bei der das geschieht, heißt Resonanzfrequenz ω₀ = 1/√(LC). Merkwürdigerweise wird dann nur eine verschwindend kleine Spannung U(t) benötigt, um einen sehr großen Strom durch die Reihenschaltung von idealer Spule und Kondensator zu treiben.  Der Wechselstromwiderstand des LC-Gliedes ergibt sich aus den Stromstärken.

Die Spannung U(t) = 0 (zu allen Zeiten) ergibt sich, wenn U_C0 = U_L0 bzw. Z_C I₀ = Z_L I₀  also  Z_C  = Z_L , also   1/(ω·C) = ω·L. Die Spannungsamplitude am Kondensator oder der Spule ist U_C0 = Z_C I₀ = I₀ /(ω·C) und im Resonanzfall U_C0 = I₀·ω₀ ·L.

Theoretisch (bei verschwindendem Ohm'schen Widerstand R) würde bei der Resonanzfrequenz ein unendlicher Strom fließen, obwohl die von außen angelegte Spannung verschwindet. In Realität ist mindestens ein kleiner Ohm'scher Widerstand R zu berücksichtigen.

Für U(t) erhalten wir in der Situation der Zeichnung U₀ = U_L0 - U_C0, wenn wir durch das Minuszeichen die Gegenphasigkeit berücksichtigen. U_C0 = Z_C·I₀ und  U_L0 = Z_L·I₀.  Mit U  = I₀·Z ergibt sich

Setzen wir für ω die Resonanzfrequenz ω₀ = 1/√(LC) ein, finden wir, dass Z bei der Resonanz gerade 0 wird. Wenn ω => ω₀  strebt, wächst I₀ = U₀/Z über alle Grenzen, wenn nicht U₀ = 0. Das ist der Grund, weshalb ein Serienresonanzkreis auch Saugkreis heißt.  Er kann z.B. störende Frequenzanteile mit der Resonanzfrequenz kurzschließen, oder Frequenzanteile mit der Resonanzfrequenz gerade besonders effektiv einem Gerät zuführen. Vor ca. 100 Jahren hat man das in den damaligen primitiven Radios genutzt,  um einen Sender der Resonanzfrequenz besonders gut zu empfangen.

VII Stromkreis mit einer Reihenschaltung von Ohm'schem Widerstand R, Kondensator mit Kapazität C und Spule mit Induktivität L

Während beim Ohm'schen Widerstand der Wechselstrom-Widerstand frequenzunabhängig ist, wächst er bei der Spule mit der Frequenz, und nimmt er beim Kondensator ab. Sind z.B. Spule und Kondensator hintereinander (in Reihe oder Serie) geschaltet, so verhalten sich beide Wechselstromwiderstände unterschiedlich mit der Frequenz. Dementsprechend verändern sich die Spannungsabfälle bei einem festen Maximalwert der Stromstärke (ihrer Amplitude), wobei durch alle in Reihe geschalteten Bauteil derselbe Strom fließen muss. Das hat Konsequenzen für die Größe des gemeinsamen Stroms, weil die Summe aller Spannungsabfälle gleich der von außen angelegten Spannung sein muss.

Bei mehreren Bauteilen im Stromkreis nennen wir die Spannungsabfälle U_R, U_C und U_L. Bei in Reihe (Serie) geschalteten Bauteilen fließt durch alle derselbe Strom I(t). Es ist deshalb sinnvoll, die Zeitabhängigkeiten der Spannungen des Zeigerdiagramms auf I zu beziehen.

Sind in einem Wechselstromkreis Ohm'scher Widerstand R, Kondensator mit Kapazität C und Spule mit Induktivität L hintereinander geschaltet, ist die wechselnde Betriebsspannung U = U(t) gleich der vektoriellen Summe der Spannungsabfälle U_R, U_C und U_L (Spannungsbilanz). Der Widerstand R kann auch den Innenwiderstand R_i der Spule enthalten.

Es gilt dann die Spannungsbilanz:

Wenn I prop. zu sin(ω·t), ist auch U_R prop. zu sin(ω·t), ebenso wie dU_C /dt. U_C ist dann prop. zu - cos(ω·t) und U_L prop. zu cos(ω·t).

VIII Stromkreis mit Widerstand und Kondensator: Hochpass und Tiefpass     (zurück zur Übersicht)

Der Widerstand sei R, die Kapazität des Kondensators C. Die Schaltung wird auch RC-Glied genannt.

Berechnung der Teilspannungen im RC-Glied    (zurück zur Übersicht)

Bisher haben wir die Reaktion einer Schaltung auf eine sinusförmige Spannung bestimmter Kreisfrequenz ω untersucht. Im Folgenden geht es aber um ein Frequenzgemisch von sinusförmigen Spannungen beliebiger Kreisfrequenzen ω.

Ausgangspunkt ist der Zusammenhang zwischen der Stromstärke I (durch alle Bauteile) und der Spannungsabfall am Ohm'schen Widerstand U_R:

U_R = I·R bzw. für die Maximalwerte (Amplituden):  U_R0 = I₀·R.

Um den Maximalwert von U_C zu ermitteln, erweist sich der Wechselstrom-Widerstand des Kondensators Z_C als nützlich: U_C0 = I₀·Z_C  = I₀/(ω·C).

I₀ finden wir mittels des Maximalwerts der von außen angelegten Spannung U₀ = √(U_R0² + U_C0²) = I₀·√[R² + 1/(ω·C)²]  (aus der vektoriellen Summe von U_R und U_C).

Ein erstes Ergebnis ist der Gesamt-Wechselstrom-Widerstand der Reihen-Schaltung von R und C:

                                Z_RC = U₀/I₀  = √[R² + 1/(ω·C)²]

Der Wechselstrom-Widerstand Z_RC wächst mit zunehmender Kreisfrequenz ω.

Uns interessieren mehr U_R0 und U_C0, also U_R0 = I₀·R = U₀ · R/Z_RC und U_C0 = I₀·Z_C = U₀ · Z_C/Z_RC.

Greifen wir die Spannung U_R am Ohm'schen Widerstand ab, dann erhalten wir ihren Maximalwert: U_R0 = U₀ · 1/√[1 + 1/(ω·R·C)²].

Wenn ω => 0 strebt, wächst U_R0 immer mehr mit dem Grenzwert U_R0 = U₀: Wenn U(t) aus einem Frequenzgemisch zusammengesetzt ist, dann erscheinen am Ohm'schen Widerstand vor allem die tiefen Frequenzen. Das RC-Glied mit Abgriff am Ohm'schen Widerstand wirkt als Tiefpass, weil es vor allem die Anteile mit den tiefen Frequenzen passieren lässt.

Wenn ω => ∞ strebt, wächst U_C0 immer mehr mit dem Grenzwert U_C0 = U₀: Wenn U(t) aus einem Frequenzgemisch zusammengesetzt ist, dann erscheinen am Kondensator vor allem die hohen Frequenzen. Das RC-Glied mit Abgriff am Kondensator wirkt als Hochpass, weil es vor allem die Anteile mit den hohen Frequenzen passieren lässt.

Zum Beispiel beim Bau von Lautsprecher-Boxen spielen Hochpass und Tiefpass eine wichtige Rolle, weil man damit Hochton-Lautsprecher und Bass-Lautsprecher getrennt optimal versorgen kann.

IX Stromkreis mit realer Spule    (zurück zur Übersicht)

Zur Berechnung der Spannung an der Spule U_L und der Stromstärke I gehen wir wieder aus von I und U_R: Aus U_R = I·R erhalten wir die Maximalwerte:  U_R0 = I₀·R. Um den Maximalwert von U_L zu ermitteln, erweist sich der Wechselstrom-Widerstand der Spule Z_L als nützlich: U_L0 = I₀·Z_L  = I₀·ω·L.

I₀ finden wir mittels der von außen angelegten Spannung U₀ = √(U_R0² + U_L0²) = I₀·√[R² + (ω·L)²] = I₀·R·√[1 + (ω·L/R)²] (aus der vektoriellen Summe von U_R und U_L). Wir erhalten also Z_RL = U₀/I₀ = √[R² + (ω·L)²] bzw. I₀ = U₀/Z_{RL =}  U₀/√[R² + (ω·L)²]

Wenn ω => 0 strebt Z_RL => R, wenn ω => ∞ oder R => 0 strebt Z_RL => ω·L. Wie du es für die reale Spule erwarten konntest, wird der Wechselstrom-Widerstand der realen Spule niemals 0.

Damit: U_L0 = U₀·ω·L/√[R² + (ω·L)²] = U₀·/√{[R/(ω·L)]² + 1}

Wenn ω => ∞ strebt U_L0 => U₀, wenn ω => 0 strebt U_L0 => 0.  Du hättest ja auch erwartet, dass im ersten Fall die Spule sperrt; die ganze Spannung U(t) liegt an der Spule. Im zweiten Fall findet keine Induktion statt, so als wäre die Spule nicht vorhanden, und die ganze Spannung fällt schon an R ab.

Wenn U_R(t) = U_R0·sin(ω·t) ist U(t) = U₀·sin(ω·t + φ). Aus dem Zeigerdiagramm erhältst du für den Phasenwinkel: tan(φ) = U_L0/U_R0 = I₀·Z_L / I₀·R = ω·L/R. So könntest du auch in allgemeineren Fällen vorgehen.

X Anhang für "Experten":  Differenzialgleichung für in Serie geschaltete Bauteile      (zurück zur Übersicht)

Aus der Spannungsbilanz (Gl. *) erhalten wir durch Zeitableitung:

Es handelt sich um eine Differenzialgleichung (DGL) zur Ermittlung der zeitabhängigen Stromstärke I(t). Die Zeitableitung dU/dt ist mit der angelegten äußeren Wechselspannung vorgegeben. Es gilt mit U = U₀ sin (ω·t): dU/dt = ω·U₀ cos(ω·t).

(Gl. **) stellt  eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten R, 1/C und L dar. Nach der Theorie der DGL erhält man die allgemeine Lösung als Summe einer speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung der homogenen DGL. Im Folgenden geht es nur um die Gewinnung einer speziellen Lösung für I(t). Typischerweise hat die homogene Gleichung sinusförmige Lösungen.

Dershalb lässt sie sich durch einen der Ansätze lösen:

(1) I = A sin(ω·t) + B cos(ω·t) mit den 2 noch unbekannten Konstanten A und B, oder auch mit

(1') I = I₀ sin[(ω·t + φ)] mit den 2 noch unbekannten Konstanten I₀ und φ, oder auch mit

(1") I = I₀ exp[i(ω·t + φ)]

d²I/dt² = - ω²I , und wir erhalten   dU/dt = I(1/C - L ω²) .

Wenn U = U₀ sin (ω·t), also dU/dt = ω·U₀ cos(ω·t), folgt, da (Gl. **) für alle Zeiten gültig ist, A = 0, und ω·U₀ = B (1/C - Lω²), also I₀ = B. Der Wechselstrom-Widerstand Z wird damit

                            Z = U₀/I₀ =  (1/C - Lω²)/ω  = 1/(ωC) - Lω = L/ω·(ω₀² - ω²).     (Es gilt auch: Z = Z_C - Z_L )

Z verschwindet, wenn ω = ω₀ , wobei ω₀ = 1/√(L·C), wenn also Z_C = Z_L. Die Stromstärke wächst dann theoretisch über alle Grenzen. Dann haben beide Spannungen U_C und U_L gleichen Betrag. Das Minuszeichen weist auf die Gegenphasigkeit hin: U_C und U_L sind entgegengesetzt gleich. Man spricht von Resonanz (Serienresonanz) mit der Resonanzfrequenz ω₀ = 1/√(L·C). Für alle Frequenzen sind Spannung und Stromstärke um 90⁰ gegeneinander phasenverschoben: Wenn U = U₀ sin(ω·t) folgt I(t) = U₀/Z · cos(ω·t). Wenn ω₀ > ω ist der Faktor Z > 0, wenn ω₀ < ω ist der Faktor Z < 0. Im ersten Fall eilt die Spannung U der Stromstärke voraus, im zweiten Fall ist es umgekehrt. 

Auch bei realen Bauteilen heißt eine Reihenschaltung von Spule und Kondensator manchmal "Saugkreis", weil sie im Resonanzfall einen sehr großen Strom durch den Stromkreis "saugt".  Für ω => 0 oder ω => ∞ wächst der Wechselstrom-Widerstand über alle Grenzen: die Serienschaltung von L und C "sperrt".

Mit dem Ansatz (1') gilt ebenfalls     d²I/dt² = - ω²I , und wir erhalten   dU/dt = I/C + L d²I/dt² = I(1/C - L ω²)     oder     

I = dU/dt / (1/C - Lω²) =  dU/dt / ω(1/ωC - Lω)

und mit  I = I₀ sin[(ω·t + φ)] und U = U₀ sin (ω·t)   [ also dU/dt = ω·U₀ cos(ω·t) ] :

I₀  = ω·U₀ /(1/C - Lω²) = U₀ / (1/ωC - Lω)  und φ = 90⁰. Der Wechselstrom-Widerstand ist also  Z = U₀ /I₀ = 1/ωC - Lω  = Z_C - Z_L  .

Wenn C => ∞ oder L = 0 erhalten wir das Ergebnis für Fall II oder Fall III, und für die Resonanz Z = 0.

Im allgemeinen Fall (R > 0) wählen wir lieber den Ansatz (1'). Wegen dI/dt = iω·I und d²I/dt² = - ω²I erhalten wir dann:

dU/dt = - i·R·ω·I + I/C - L ω²I = I (- i·R·ω + 1/C - L·ω²) = I·ω·[- i·R + L·(ω₀²/ω - ω)]   = I [- i·R·ω + L·(ω₀² - ω²)] bzw.

| dU/dt | = | I |·ω·√[R² + L²·((ω₀²/ω - ω))²] und

| I | = I0 = ω·U0  ·  1/√[(R·ω)2 + L2·(ω02 - ω2)2] = U0 / √[R2 + L2((ω02/ω - ω))2]

So wie beim Ohm'schen Widerstand gilt U = R·I, können wir bei einer sinusförmigen Spannung mit | dU/dt | = ω·U₀ den Wechselstrom-Widerstand Z des Stromkreises definieren als

Z wird minimal, wenn ω₀/ω = 1, nämlich Z = R . Für ω => ∞ und ω => 0 divergiert Z. Anschaulich: Für kleine Frequenzen sperrt der Kondensator, für große die Spule. Dazwischen gibt es eine Kreisfrequenz ω, bei der C und L "sich gemeinsam auf einen endlichen Strom geeinigt haben", nämlich, wenn ω der Resonanzfrequenz ω₀ entspricht. Im Resonanzfall gilt Z_L = Z_C = 1/(ω₀C) = ω₀L = 1/(C/√LC) = √(L/C).

Im Resonanzfall ist Z = R. Die Spannungsamplitude am Kondensator oder der Spule ist U_C0 = I₀ ·Z_C = U₀/R · √(L/C) = U₀/2π ·T/τ. Insbesondere, wenn die Schwingungsdauer T =  2π/ω sehr viel größer als die "Dämpfungszeit" τ = R·C, ist, kann die Schwingungsamplitude an Kondensator und Spule sehr viel größer als die Amplitude der angelegten Spannung sein. Z.B. bei Flachbildschirmen wird das zur Hochspannungserzeugung für die Hintergrundbeleuchtung verwendet, ähnlich auch bei den quecksilberhaltigen Energiesparlampen.

Hochpass/Tiefpass:

L = 0 => Z = √[R² + (1/ωC)²]  => I₀ =  U₀/Z

U_C0 = Z_C·I_{0  =} U₀·Z_C/Z = 1/{ ωC·√[R² + (1/ωC)²]} = 1/{ √[(ω·R·C)² + 1]}

U_R0 = R·I_{0  =} U₀·R/Z = 1/{ 1/R · √[R² + (1/ωC)²]} = 1/{√[1 + 1/(ω·R·C)²]}

Wenn ω => 0  strebt U_C0 => U₀ und U_R0 => 0. Wenn ω => ∞  strebt U_C0 => 0 und U_R0 => U₀ . Wenn man bei einem Frequenzgemisch aus vielen ω's die Spannung U_C0 misst, erhält man vor allem die niederen Frequenzanteile (Tiefpass). Misst man dagegen U_R0, misst man vor allem die hohen Frequenzanteile (Hochpass).

Resonanz:

Mit Z = √[R² + (1/ωC - Lω)²] erhältst du für die Resonanzfrequenz ω₀ = 1/√(L·C):   Z = R. Der gesamte Kreiswiderstand ist bei ω₀ = ω:  R, so als seien Spule und Kondensator nicht vorhanden. Er verschwindet nicht, hat aber den kleinstmöglichen Wert. Deshalb ist die Stromstärkenamplitude bei einer festen Spannungsamplitude maximal. So drückt sich hier die Resonanz aus. Das kommt daher, dass die Spannungen U_L und U_C entgegengesetzt gleich sind (auch gegenphasig) und sich gegenseitig aufheben.

^*) Mit einer so genannten Strompumpe ist das möglich. Wenn Widerstände oder Lämpchen im Stromkreis in Reihe mit der Spule liegen, treten zusätzliche Spannungsabfälle auf, auch am Innenwiderstand R_i der Spule. Die Zusammenhänge werden experimentell bei Ein-/Ausschaltvorgänge an der Spule untersucht. Die Gesetzmäßigkeit  U_ind = - L·dI/dt  für die Selbstinduktionsspannung bleibt bestehen.

Im Allgemeinen, wenn der Spulenwiderstand nicht vernachlässigbar ist, sollte bei Experimenten zur Messung der Selbstinduktion die Grundschaltung oder Varianten davon verwendet werden.

^**) Eigentlich müsste statt ΔI/Δt allgemeiner die Zeitableitung dI/dt = I^· stehen.

( Februar 2021)